Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $v^{4}$ dari $v^{4} + 4 v^{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $v^{4}$ dari $4 v^{8}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $v^{4}$ dari $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $v^{4}$ dari $v^{5}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

Langkah 2

Susun kembali $1$ dan $4 v^{4}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

Langkah 3

Bagilah $4 v^{4} + 1$ dengan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Langkah 3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 v^{4}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $v$ .

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

Langkah 3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Langkah 3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 v^{4} + 0$

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Langkah 3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

Langkah 3.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Langkah 5

Karena $4$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $v^{3}$ terhadap $v$ adalah $\frac{1}{4} v^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $v^{4}$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Evaluasi $\frac{v^{4}}{4}$ pada $2$ dan pada $1$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

Langkah 9.1.2

Evaluasi $\ln (| v |)$ pada $2$ dan pada $1$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.4

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.7.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.7.2

Kurangi $1$ dengan $16$ .

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.8

Gabungkan $4$ dan $\frac{15}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.9

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $60$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.10.1

Faktorkan $4$ dari $60$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.1.3.10.2.4

Bagilah $15$ dengan $1$ .

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Langkah 9.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Langkah 9.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

Langkah 9.3.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$15 + \ln (2)$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$15 + \ln (2)$

Bentuk Desimal:

$15.69314718 \dots$

Langkah 11