Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Perluas $(x + 1) (5 x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.1.3

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 \cdot x + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.1.4

Kalikan $5 x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $- 3 x$ dan $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 3}$

Langkah 2

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.1.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.5

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 3.6

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 5

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 7.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Langkah 7.3

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{5 + 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 9.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$\frac{5 + 0 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 9.1.3

Tambahkan $5 + 0$ dan $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 9.1.4

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$\frac{5}{1 + 3 \cdot 0}$

Langkah 9.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{5}{1}$

Langkah 9.3

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$5$