Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{x^{2} e^{5 x^{3} + 1}}{3 - e^{5 x^{3} + 1}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 15 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{15} d u_{1} = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 5 x^{3} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $5 x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3} + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$15 x^{2} + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $15 x^{2}$ dan $0$ .

$15 x^{2}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{15} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $\frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}}$ dengan $\frac{1}{15}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{(3 - e^{u_{1}}) \cdot 15} d u_{1}$

Langkah 3.2

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $3 - e^{u_{1}}$ .

$2 \int \frac{e^{u_{1}}}{15 (3 - e^{u_{1}})} d u_{1}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{15}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{15}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1})$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{15}$ dan $2$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{e^{u_{1}}}{3 - e^{u_{1}}} d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Kemudian $d u_{2} = - e^{u_{1}} d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = 3 - e^{u_{1}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $3 - e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 - e^{u_{1}}]$

Langkah 6.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Langkah 6.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $3$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d u_{1}} [- e^{u_{1}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 - e^{u_{1}}$

Langkah 6.1.4

Kurangi $e^{u_{1}}$ dengan $0$ .

$- e^{u_{1}}$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{2}{15} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{15} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{2}{15} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 9

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{2}{15} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan.

$\frac{2}{15} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Langkah 10.2

Gabungkan $\frac{2}{15}$ dan $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{2 \ln (| u_{2} |)}{15} + C$

Langkah 11

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 - e^{u_{1}}$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{u_{1}} |)}{15} + C$

Langkah 11.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x^{3} + 1$ .

$- \frac{2 \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |)}{15} + C$

Langkah 12

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{2}{15} \ln (| 3 - e^{5 x^{3} + 1} |) + C$