Kalkulus Contoh

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arcsin (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\arcsin (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 4.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 4.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 4.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 4.8

Gabungkan $x^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Langkah 4.9

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

Langkah 4.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

Langkah 4.10.2

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.2.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.4

Kalikan $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.5.6.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.7

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.7.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.7.2

Gabungkan $\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Langkah 4.11.3.8

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.8.1

Pindahkan $x^{1}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

Langkah 4.11.3.8.2

Kalikan $x^{\frac{3}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.8.2.1

Pindahkan $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 4.11.3.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.8.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.8.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.8.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.8.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.3.8.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

Langkah 4.11.3.8.2.6.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.11.4

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

Langkah 4.11.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.5.1

Kalikan $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

Langkah 4.11.5.2

Pindahkan $\sqrt{(x - 1) x}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

Langkah 4.11.5.3

Naikkan $\sqrt{(x - 1) x}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

Langkah 4.11.5.4

Naikkan $\sqrt{(x - 1) x}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

Langkah 4.11.5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.11.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

Langkah 4.11.5.7

Tulis kembali ${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ sebagai $(x - 1) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.5.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(x - 1) x}$ sebagai ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.11.5.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.11.5.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.11.5.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.5.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.11.5.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

Langkah 4.11.5.7.5

Sederhanakan.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

Langkah 4.11.6

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.6.1

Pindahkan $x$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Langkah 4.11.6.2

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

Langkah 4.11.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Langkah 4.11.6.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

Langkah 4.11.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

Langkah 4.11.6.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Langkah 4.11.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ .

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$