Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x^{3} + 24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{4} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{4}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.2.5.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Langkah 1.1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Langkah 1.1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $24$ .

$f' (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 12 x^{2} + 48 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Langkah 1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $48 x$ terhadap $x$ adalah $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $48$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 24 x + 48$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$3 x^{2} + 24 x + 48 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 24 x + 48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x + 48 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) + 48 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $48$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 16) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$3 (x^{2} + 8 x + 4^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Langkah 1.2.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Langkah 1.2.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$3 {(x + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $3 {(x + 4)}^{2} = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah ${(x + 4)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 1.2.5

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 24 (- 6) + 48$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = 3 \cdot 36 + 24 (- 6) + 48$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $36$ .

$f'' (- 6) = 108 + 24 (- 6) + 48$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $- 6$ .

$f'' (- 6) = 108 - 144 + 48$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kurangi $144$ dengan $108$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 48$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $- 36$ dan $48$ .

$f'' (- 6) = 12$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (- 6)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 4, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} + 24 (0) + 48$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 + 24 (0) + 48$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) + 48$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $24$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 48$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 48$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $48$ .

$f'' (0) = 48$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $48$ .

$48$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 4, \infty)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 4, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke atas pada $(- 4, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7