Kalkulus Contoh

$x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3} = - x$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x^{3} + 3 y^{2} - 4 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 x + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 6 x^{2} + 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.3.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 4 (3 y^{2} y')$

Langkah 2.4.4

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$2 x + 6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y'$

Langkah 2.5

Susun kembali suku-suku.

$6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x^{2} + 6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x = - 1$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $6 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x = - 1 - 6 x^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 y y' - 12 y^{2} y' = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $6 y y'$ dari $6 y y' - 12 y^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $6 y y'$ dari $6 y y'$ .

$6 y y' \cdot 1 - 12 y^{2} y' = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $6 y y'$ dari $- 12 y^{2} y'$ .

$6 y y' \cdot 1 + 6 y y' (- 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $6 y y'$ dari $6 y y' \cdot 1 + 6 y y' (- 2 y)$ .

$6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$ dengan $6 y (1 - 2 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $6 y y' (1 - 2 y) = - 1 - 6 x^{2} - 2 x$ dengan $6 y (1 - 2 y)$ .

$\frac{6 y y' (1 - 2 y)}{6 y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 y y' (1 - 2 y)}{6 y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (1 - 2 y)}{y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (1 - 2 y)}{y (1 - 2 y)} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 - 2 y)}{1 - 2 y} = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 y (1 - 2 y)$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 (y (1 - 2 y))} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{6 (- x^{2})}{6 (y (1 - 2 y))} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} + \frac{- x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- 2 x}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{6 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 y (1 - 2 y)$ .

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{2 (3 y (1 - 2 y))}$

Langkah 5.3.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{2 (- x)}{2 (3 y (1 - 2 y))}$

Langkah 5.3.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} + \frac{- x}{3 y (1 - 2 y)}$

Langkah 5.3.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} - \frac{x}{3 y (1 - 2 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{6 y (1 - 2 y)} - \frac{x^{2}}{y (1 - 2 y)} - \frac{x}{3 y (1 - 2 y)}$