Kalkulus Contoh

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ sehingga $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 e^{3 x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Langkah 2.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Langkah 2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Langkah 2.1.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Langkah 2.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Langkah 2.1.3.6

Kalikan $6$ dengan $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Kurangi $18 e^{3 x^{2}} x$ dengan $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ dengan $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Langkah 3.3

Pindahkan $18$ ke sebelah kiri $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Langkah 5

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{18}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{18}$ keluar dari integral.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $\frac{1}{18}$ dan $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Langkah 7.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Langkah 7.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Langkah 7.2.2

Pindahkan ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 7.2.3

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 7.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Langkah 7.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$