Kalkulus Contoh

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Kemudian $d u = e^{x} d x$ sehingga $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 1 + e^{x}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$e^{x}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Langkah 5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Langkah 6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + e^{x}$ .

$\ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Langkah 7

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + e^{x} |) + C$