Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.5.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Langkah 2.5.1.5

Evaluasi eksponennya.

$u_{upper} = 1 + 3$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Gabungkan $\sqrt{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.1.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 5.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.5

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Langkah 8.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Langkah 8.2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 8.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Langkah 8.2.9

Kurangi $2$ dengan $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Langkah 8.2.10

Gabungkan $3$ dan $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Langkah 8.2.11

Kalikan $3$ dengan $14$ .

$\frac{42}{3}$

Langkah 8.2.12

Hapus faktor persekutuan dari $42$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.12.1

Faktorkan $3$ dari $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Langkah 8.2.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.12.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Langkah 8.2.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Langkah 8.2.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{14}{1}$

Langkah 8.2.12.2.4

Bagilah $14$ dengan $1$ .

$14$

Langkah 9