Kalkulus Contoh

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 y}$ dan $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{3 x}$ dari $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.1.2.4

Bagilah $e^{2 y - 3 x}$ dengan $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $e^{3 x + 3 y}$ dengan $e^{2 y - 3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.2.2.2

Tambahkan $3 y + 2 y$ dan $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $3 y$ dan $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Langkah 3.4

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ dan $e^{3 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $e^{3 y}$ dari $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Langkah 3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Langkah 3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Langkah 3.4.2.4

Bagilah $e^{2 x - 3 y}$ dengan $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Langkah 3.5

Kalikan $e^{3 x + 3 y}$ dengan $e^{2 x - 3 y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Langkah 3.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Langkah 3.5.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Tambahkan $- 3 y$ dan $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Langkah 3.5.3.2

Tambahkan $2 x + 3 x$ dan $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Langkah 3.5.4

Tambahkan $2 x$ dan $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = 5 y$ . Kemudian $d u_{1} = 5 d y$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 5 y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Langkah 4.2.1.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 y$ terhadap $y$ adalah $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 4.2.1.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Kemudian $d u_{2} = 5 d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Langkah 4.3.2.1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $e^{5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Langkah 5.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{5 x}}{5}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Langkah 5.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Langkah 5.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Perluas $\ln (e^{5 y})$ dengan memindahkan $5 y$ ke luar logaritma.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Langkah 5.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Langkah 5.4.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ dengan $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$