Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $4 x$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Langkah 3.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Langkah 3.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Langkah 3.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ sebagai $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Langkah 7.3.2.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = x^{4} + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = x^{4} + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3.1.2.4

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Langkah 10.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Langkah 10.2.3

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$1 + C = 0$

Langkah 10.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = - 1$

Langkah 11

Substitusikan $- 1$ untuk $C$ dalam $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $- 1$ untuk $C$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Langkah 11.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$