Kalkulus Contoh

$x (y^{2} - 1) d y - y (x^{2} - 1) d x = 0$

Langkah 1

Tambahkan $y (x^{2} - 1) d x$ ke kedua sisi persamaan.

$x (y^{2} - 1) d y = y (x^{2} - 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x y} (x (y^{2} - 1)) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} (y^{2} - 1) d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $y^{2} - 1$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{1}{x} (x^{2} - 1) d x$

Langkah 3.5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $x^{2} - 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x} d x$

Langkah 3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{(y + 1) (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{y (y - 1) + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1)}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Susun kembali $y$ dan $- 1$ .

$\int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{y^{1} y - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int \frac{y^{1 + 1} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + 1 y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.8.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y + 1 \cdot - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\int \frac{y^{2} - 1 y + y - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.9

Tambahkan $- 1 y$ dan $y$ .

$\int \frac{y^{2} + 0 - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.10

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\int \frac{y^{2} - 1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.11

Bagilah $y^{2} - 1$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.11.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Langkah 4.2.11.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$

Langkah 4.2.11.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Langkah 4.2.11.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y^{2} + 0$

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Langkah 4.2.11.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Langkah 4.2.11.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	+	$0 y$	-	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Langkah 4.2.11.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int y - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.14

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.15

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.2.16

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{(x + 1) (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x} d x$

Langkah 4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.8.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.9

Tambahkan $- 1 x$ dan $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 0 - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.10

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Langkah 4.3.11

Bagilah $x^{2} - 1$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.11.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Langkah 4.3.11.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Langkah 4.3.11.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Langkah 4.3.11.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Langkah 4.3.11.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Langkah 4.3.11.6

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Langkah 4.3.11.7

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.14

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.15

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - (\ln (| x |) + C_{5})$

Langkah 4.3.16

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{6}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$