Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (y) + y \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2.1.2

Sederhanakan $2 \log (e^{x})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2.1.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Sederhanakan.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Tambahkan $- \cos (y)$ dan $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.2.5.2.2

Tambahkan $y \sin (y)$ dan $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $x \log (e^{2 x}) + 1$ sebagai $x (2 x \log (e)) + 1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Langkah 2.3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Langkah 2.3.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Langkah 2.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Langkah 2.3.4

Karena $2 \log (e)$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 \log (e)$ keluar dari integral.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Langkah 2.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Langkah 2.3.7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Langkah 2.3.7.4

Susun kembali suku-suku.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$