Kalkulus Contoh

$(3 x + 2) d y + (2 y - 5) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(2 y - 5) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(3 x + 2) d y = - (2 y - 5) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $2 y - 5$ dari $(3 x + 2) (2 y - 5)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 y - 5$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 y - 5$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 5$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Langkah 4.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Langkah 4.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Langkah 4.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Langkah 4.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 5$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 4.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 3 x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 3 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $\ln (| 3 x + 2 |)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3})$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + C \cdot 3}{3}$

Langkah 5.2.2.1.4

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C)}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \ln (| 3 x + 2 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) + 3 C)}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $3 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C))}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.5.5.1

Tulis kembali $- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ sebagai $- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Langkah 5.2.2.1.5.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} = | 2 y - 5 |$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Langkah 5.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Langkah 5.5.3

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$

Langkah 5.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 5.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 5.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Langkah 5.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5}{2}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) + C)}{3}} + 5}{2}$