Kalkulus Contoh

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 e^{2 x} y - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2 e^{2 x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 e^{2 x} y$ terhadap $y$ adalah $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 e^{2 x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 e^{2 x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = e^{2 x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{2 x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 9.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Langkah 10.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangkan $2 y e^{2 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Langkah 10.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.2.1

Kurangi $2 y e^{2 x}$ dengan $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Langkah 10.1.2.2.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Langkah 11

Temukan $- x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Langkah 11.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x d x$

Langkah 11.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 11.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$