Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (x^{3} + 2) (2 - y)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((x^{3} + 2) (2 - y))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $2 - y$ dari $(x^{3} + 2) (2 - y)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) (x^{3} + 2))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) (x^{3} + 2))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = x^{3} + 2$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 - y} d y = (x^{3} + 2) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 2 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 2 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 2 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 2 - y |) = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| 2 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{1}{4} x^{4}}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - 1 \cdot (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\frac{1}{4} x^{4})$ sebagai $- (\frac{1}{4} x^{4})$ .

$\ln (| 2 - y |) = - (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.4

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 x}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 1 \cdot (2 x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.5

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 x)$ sebagai $- (2 x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - (2 x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 2 x + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.7

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 2 x - 1 \cdot C$

Langkah 3.1.3.1.8

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 2 - y |) = - \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C} = | 2 - y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 - y | = e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}$ .

$| 2 - y | = e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C} - 2$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C} - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C} - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Untuk menuliskan $\frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{- 2}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $1$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.3.1

Kalikan $\frac{\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.3

Kalikan $\frac{- 2}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.5.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.2

Tulis kembali $- 1 (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C})$ sebagai $- (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) + 2}{1}$

Langkah 3.4.4.3.6

Bagilah $- (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) + 2$ dengan $1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x - C}) + 2$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x + C}) + 2$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x + C}$ sebagai $e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x} e^{C}) + 2$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x}) + 2$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C e^{- \frac{x^{4}}{4} - 2 x}) + 2$