Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{2 - x^{3}}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.4

Kalikan $- x^{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Langkah 2.3.2.2.4.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Langkah 2.3.3

Biarkan $u = - 2 + x^{3}$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Biarkan $u = - 2 + x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Diferensialkan $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Langkah 2.3.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3.3.1.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3.3.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Langkah 2.3.3.1.5

Tambahkan $0$ dan $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 2.3.5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ sebagai $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Langkah 6.2.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ dengan $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ dengan $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Langkah 6.3.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ untuk $C$ dalam $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ untuk $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ dan $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Langkah 7.3

Faktorkan $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ dari $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Langkah 7.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Langkah 7.4.4

Bagilah $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ dengan $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Langkah 7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Langkah 7.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Langkah 7.5.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Langkah 7.5.2

Kalikan $e^{- 2 + x^{3}}$ dengan $e^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Langkah 7.5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 + x^{3} + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Langkah 7.5.2.2.2

Tambahkan $x^{3}$ dan $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$