Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{x - 3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x \sqrt{x - 3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{x - 3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sqrt{x - 3}$ .

$y + C_{1} = x (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u = x - 3$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u = x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Langkah 2.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.4.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $\frac{x (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2

Gabungkan $\frac{2 x}{3}$ dan ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.5

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.6

Untuk menuliskan $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.7

Gabungkan $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.9

Gabungkan $u^{\frac{5}{2}}$ dan $\frac{4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.10

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.11

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.12

Kalikan $4$ dengan $- 3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.13

Faktorkan $3$ dari $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.14.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.15

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.16

Untuk menuliskan $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.17

Gabungkan $2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{5}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{\frac{2 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.19

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.20

Tulis kembali $\frac{\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ sebagai hasil kali.

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.21

Kalikan $\frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.22

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{15} (10 x {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + K$