Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 7$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 7$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 7$

Langkah 2.3

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 \cdot e^{3 t}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 7 e^{3 t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 7 e^{3 t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 7 e^{3 t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 t} y = \int 7 e^{3 t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$e^{3 t} y = 7 \int e^{3 t} d t$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 3 t$ . Kemudian $d u = 3 d t$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 3 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{3 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 t} y = 7 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $7$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} \int e^{u} d u$

Langkah 6.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} (e^{u} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 t$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ dengan $e^{3 t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ dengan $e^{3 t}$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{7}{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$1 = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Langkah 9.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{1} = 1$

Langkah 9.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{7}{3} + C = 1$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kurangkan $\frac{7}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 1 - \frac{7}{3}$

Langkah 9.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$C = \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{3 - 7}{3}$

Langkah 9.3.4

Kurangi $7$ dengan $3$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

Langkah 9.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{4}{3}$

Langkah 10

Substitusikan $- \frac{4}{3}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $- \frac{4}{3}$ untuk $C$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{- \frac{4}{3}}{e^{3 t}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 t}}$

Langkah 10.2.2

Kalikan $\frac{1}{e^{3 t}}$ dengan $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{e^{3 t} \cdot 3}$

Langkah 10.2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 t}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3 e^{3 t}}$