Kalkulus Contoh

$(2 x^{3} y^{2} - e^{x}) d x + (x^{4} y + 2 y^{3}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2} - e^{x}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} y^{2} - e^{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x^{3} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{3} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $4 x^{3} y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x^{3} y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y + 2 y^{3}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} y + 2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{4} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Langkah 2.4

Karena $2 y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3} + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $4 y x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x^{3}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $4 y x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 x^{3} y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x^{3} y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 x^{3} y = 4 x^{3} y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y + 2 y^{3} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{4} y + 2 y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{4} y d y + \int 2 y^{3} d y$

Langkah 5.2

Karena $x^{4}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{4}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y + \int 2 y^{3} d y$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 y^{3} d y$

Langkah 5.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 \int y^{3} d y$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Langkah 5.7.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 (\frac{1}{4} y^{4}) + C$

Langkah 5.7.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + 2 \frac{y^{4}}{4} + C$

Langkah 5.7.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{4}}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{4} + C$

Langkah 5.7.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 (y^{4})}{4} + C$

Langkah 5.7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 5.7.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{2 y^{4}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 5.7.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$

Langkah 5.8

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{4 y^{2}}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $4 y^{2} x^{3}$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.3.7.2.4

Bagilah $2 y^{2} x^{3}$ dengan $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.4

Karena $\frac{1}{2} y^{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} y^{4}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{3} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Tambahkan $2 y^{2} x^{3}$ dan $0$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 8.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 x^{3} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} y^{2} - e^{x} - 2 x^{3} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $2 x^{3} y^{2}$ dengan $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi $e^{x}$ dengan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Langkah 10

Temukan $- e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Langkah 10.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan.

$g (x) = - e^{x} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} - e^{x} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} - e^{x} + C$