Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) \sin (4 x)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y - 1$ dari $(y - 1) \sin (4 x)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (\sin (4 x)))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) \sin (4 x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \sin (4 x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 1} d y = \sin (4 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \sin (4 x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (4 x) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 4 x$ . Kemudian $d u_{2} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\sin (u_{2})$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \cos (u_{2})$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2}) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u_{2})) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\cos (u_{2})$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (u_{2})}{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{\cos (4 x)}{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y - 1 |) = - \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} \cos (4 x) + C} = | y - 1 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- \frac{1}{4} \cdot \cos (4 x) + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\cos (4 x)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$| y - 1 | = e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C} + 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4} + C}$ sebagai $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} e^{C} + 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{\cos (4 x)}{4}} + 1$