Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{4} y - 4 x^{3} y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{3} y$ dari $5 x^{4} y - 4 x^{3} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x^{3} y$ dari $5 x^{4} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) - 4 x^{3} y$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x^{3} y$ dari $- 4 x^{3} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x^{3} y$ dari $x^{3} y (5 x) + x^{3} y (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{3} y (5 x - 4)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x^{3} y (5 x - 4))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $x^{3} y (5 x - 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{3} (5 x - 4)))$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x - 4)$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{3} (5 x) + x^{3} \cdot - 4$

Langkah 1.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Langkah 1.3.4

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{3} x - 4 \cdot x^{3}$

Langkah 1.3.5

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x \cdot x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 (x^{1} x^{3}) - 4 \cdot x^{3}$

Langkah 1.3.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{1 + 3} - 4 \cdot x^{3}$

Langkah 1.3.5.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 \cdot x^{3}$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 5 x^{4} - 4 x^{3}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (5 x^{4} - 4 x^{3}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} - 4 x^{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{5}{5} x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.3

Kalikan $x^{5}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.4

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 4}{4} x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4} x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} + \frac{- 1}{1} x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.5.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{5} - x^{4} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = x^{5} - x^{4} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{5} - x^{4} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{x^{5} - x^{4} + C}$ sebagai $e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{5} - x^{4}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{x^{5} - x^{4}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{5} - x^{4}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{x^{5} - x^{4}}$