Kalkulus Contoh

$(1 + \sin (y)) d x + (x \cos (y) - 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (y)$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x \cos (y) - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y) - 2 y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \cos (y) - 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\cos (y)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\cos (y)$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\cos (y)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\cos (y)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (y) = \cos (y)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 + \sin (y) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 1 + \sin (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x + g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(1 + \sin (y)) x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [(1 + \sin (y)) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $(1 + \sin (y)) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [1 + \sin (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$x (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d y} [\sin (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.3.4

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$x (0 + \cos (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.3.5

Tambahkan $0$ dan $\cos (y)$ .

$x \cos (y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x \cos (y) + \frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x \cos (y) = x \cos (y) - 2 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x \cos (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x \cos (y) - 2 y - x \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x \cos (y)$ dengan $x \cos (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $- 2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Langkah 10

Temukan $- 2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Langkah 10.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x + g (y)$ .

$f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = (1 + \sin (y)) x - y^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = 1 x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Langkah 12.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x + \sin (y) x - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x + x \sin (y) - y^{2} + C$