Kalkulus Contoh

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Langkah 1

Tulis soal sebagai pernyataan matematika.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2} + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.5

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Langkah 2.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = y$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $y$ dengan $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x y}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | x | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ dengan faktor integral $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x^{2} + y^{2} + x$ dengan $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Langkah 7.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Langkah 7.3.1.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Langkah 7.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $x y$ dengan $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Pindahkan $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Langkah 7.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = x^{2} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 9.3.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Langkah 9.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.6

Gabungkan $\frac{2 y^{2}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.3.7.2

Bagilah $y^{2} x$ dengan $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Kurangi $y^{2} x$ dengan $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Langkah 13.1.2.2

Tambahkan $x^{3} + x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Langkah 14

Temukan $x^{3} + x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Langkah 14.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Langkah 14.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 14.6

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 16

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 16.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 16.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 16.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$