Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 3 x + 4$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (3 x) + x \cdot 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x) + x \cdot 4$

Langkah 2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x + x \cdot 4$

Langkah 2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x) + x \cdot 4$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + x \cdot 4$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + 4 x$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2} + 4 x$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x y = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Langkah 6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$x y = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

Langkah 6.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

Langkah 6.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x y = 1 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$x y = x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.4

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x y = x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x y = x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C$

Langkah 6.6.2.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.1.2.5

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 7.3.1.2.2.5

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{C}{x}$