Kalkulus Contoh

$(x^{2} y^{3} + y + x - 2) d x + (x^{3} y^{2} + x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} y^{3} + y + x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + y + x - 2]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{3} + y + x - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2} y^{3}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.4.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 1.4.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + 0$

Langkah 1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $3 x^{2} y^{2} + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $3 x^{2} y^{2} + 1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2} + x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} y^{2} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{3} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + 1$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2} y^{2} + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2} y^{2} + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} + x d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} d y + \int x d y$

Langkah 5.2

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{3}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{3} \int y^{2} d y + \int x d y$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x d y$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x y + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{y^{3}}{3} + C) + x y + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + C$

Langkah 5.7

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{3}}{3}$ dan $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y^{3}}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3} y^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{3 y^{3}}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $y^{3} x^{2}$ dengan $1$ .

$y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{3} x^{2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{3} x^{2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.4.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x^{2} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y^{3} x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x^{2} y^{3}$ dan $- y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x^{2} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Langkah 9.1.3.2

Kurangi $y^{3} x^{2}$ dengan $y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 + 0 - y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $y + x - 2$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 - y$

Langkah 9.1.3.4

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $x - 2$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2$

Langkah 10

Temukan $x - 2$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x - 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x - 2 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x - 2 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int x d x + \int - 2 d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Langkah 10.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

Langkah 10.6

Sederhanakan.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{x^{3}}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$