Kalkulus Contoh

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ dengan $e^{t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ dengan $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{t}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Langkah 2.3.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 t$ sebagai $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $e^{- t}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = - t$ . Kemudian $d u = - d t$ sehingga $- d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = - t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y e^{- t} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- t}$ sebagai $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Langkah 3.3.4

Bagi setiap suku pada $y (- e^{- t} + K) = - 1$ dengan $- e^{- t} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y (- e^{- t} + K) = - 1$ dengan $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Langkah 3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- e^{- t} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Langkah 3.3.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Langkah 3.3.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Langkah 3.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.5.1

Tulis kembali $- (e^{- t} - K)$ sebagai $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Langkah 3.3.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Langkah 3.3.4.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{e^{- t} - K}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $\frac{1}{4}$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1 + K, 4$

Langkah 6.3.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 6.3.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 6.3.4

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 6.3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 6.3.6

Faktor untuk $1 + K$ adalah $1 + K$ itu sendiri.

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 6.3.7

KPK dari $1 + K$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$1 + K$

Langkah 6.3.8

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$4 (1 + K)$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ dengan $4 (1 + K)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ dengan $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Langkah 6.4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 = 1 + K$

Langkah 6.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Langkah 6.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - 1$

Langkah 6.5.2.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$K = 3$

Langkah 7

Substitusikan $3$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $3$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$