Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Langkah 1.3

Bagilah setiap suku di $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ dengan $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 1.5

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Langkah 1.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Langkah 1.7

Faktorkan $y$ dari $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.4

Gabungkan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.5

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.2.6.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 3.4

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Langkah 3.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Langkah 3.4.5

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 7.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2

Kalikan $x^{\frac{5}{2}}$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.5

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$