Kalkulus Contoh

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Langkah 2

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Langkah 2.4

Substitusikan $\frac{d v}{d x}$ untuk $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Langkah 2.5

Susun kembali $v$ dan $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Langkah 2.6

Kalikan $v$ dengan $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x v = \int 0 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Langkah 6.2

Tambahkan $0$ dan $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $x v = C_{1}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $x v = C_{1}$ dengan $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Langkah 9

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Langkah 10

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Langkah 10.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Langkah 10.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Karena $C_{1}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{1}$ keluar dari integral.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 10.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 10.3.3

Sederhanakan.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 10.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$