Kalkulus Contoh

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ dengan $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\ln (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x \ln (x)}$ dan $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $\ln (x)$ dari $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Langkah 7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\ln (x) y = e^{x} + C$ dengan $\ln (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\ln (x) y = e^{x} + C$ dengan $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$