Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $\frac{y}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y x^{4} + \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $y x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

Langkah 1.2.2

Untuk menuliskan $x^{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

Langkah 1.2.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

Langkah 1.2.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.3.2.5

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Langkah 3.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Langkah 3.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Langkah 3.6.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Langkah 3.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Langkah 3.6.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Langkah 3.6.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$