Kalkulus Contoh

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(v^{2} - 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.2.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = v$ dan $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $x$ dari $x (v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $x$ dari $x v$ .

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ dan $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Langkah 3.7.2

Faktorkan $v^{2} - 1$ dari $x (v^{2} - 1)$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Langkah 3.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Langkah 3.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Biarkan $u = (v + 1) (v - 1)$ . Kemudian $d u = 2 v d v$ sehingga $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Biarkan $u = (v + 1) (v - 1)$ . Tentukan $\frac{d u}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Diferensialkan $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

Langkah 4.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ adalah $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ di mana $f (v) = v + 1$ dan $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $v - 1$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $- 1$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3.4.2

Kalikan $v + 1$ dengan $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Langkah 4.2.2.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $v + 1$ terhadap $v$ adalah $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

Langkah 4.2.2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ adalah $n v^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

Langkah 4.2.2.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $v$ , turunan dari $1$ terhadap $v$ adalah $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

Langkah 4.2.2.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

Langkah 4.2.2.1.3.8.2

Kalikan $v - 1$ dengan $1$ .

$v + 1 + v - 1$

Langkah 4.2.2.1.3.8.3

Tambahkan $v$ dan $v$ .

$2 v + 1 - 1$

Langkah 4.2.2.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 v + 0$

Langkah 4.2.2.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 v$ dan $0$ .

$2 v$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5.3

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

Langkah 5.3

Perluas $(v + 1) (v - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Langkah 5.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Langkah 5.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.1.3

Tulis kembali $- 1 v$ sebagai $- v$ .

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.1.4

Kalikan $v$ dengan $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.2

Tambahkan $- v$ dan $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.4.3

Tambahkan $v^{2}$ dan $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

Langkah 5.5

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

Langkah 5.6

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

Langkah 5.7

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

Langkah 5.8

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

Langkah 5.9

Tulis kembali $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

Langkah 5.10

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| v^{2} x - x | = e^{C}$ .

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

Langkah 5.10.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

Langkah 5.10.3

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

Langkah 5.10.4

Bagi setiap suku pada $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.1

Bagilah setiap suku di $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ dengan $x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 5.10.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 5.10.4.2.1.2

Bagilah $v^{2}$ dengan $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 5.10.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Langkah 5.10.4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Langkah 5.10.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

Langkah 5.10.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Langkah 5.10.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

Langkah 5.10.6.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 5.10.6.4

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Langkah 5.10.6.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ dengan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Langkah 5.10.6.5.2

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Langkah 5.10.6.5.3

Naikkan $\sqrt{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Langkah 5.10.6.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.10.6.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Langkah 5.10.6.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{x}}^{2}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.10.6.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.10.6.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.10.6.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.10.6.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Langkah 5.10.6.5.6.5

Sederhanakan.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Langkah 5.10.6.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

Langkah 5.10.6.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$