Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C_{1}}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Langkah 3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Langkah 7.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C_{2})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C_{2}$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Langkah 10

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Langkah 11

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \int x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{3} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.4

Karena $C_{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 11.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 11.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 11.3.5.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 11.3.5.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Langkah 11.3.5.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- x} d x$

Langkah 11.3.6

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.6.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.6.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 11.3.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 11.3.6.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 11.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} \int - e^{u} d u$

Langkah 11.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Langkah 11.3.8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - x + C_{5} + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Langkah 11.3.9

Sederhanakan.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Langkah 11.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Langkah 11.3.11

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C_{2} - x + C_{7}$

Langkah 11.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - e^{- x} C - x + D$