Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x = 8 y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $8 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} + x - 8 y = 0$

Langkah 1.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - 8 y = - x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 8 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 8 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 8 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 8 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 8 x} (- 8 y) = e^{- 8 x} (- x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = e^{- 8 x} (- x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 e^{- 8 x} y = - e^{- 8 x} x$ .

$e^{- 8 x} \frac{d y}{d x} - 8 y e^{- 8 x} = - x e^{- 8 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] = - x e^{- 8 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 8 x} y] d x = \int - x e^{- 8 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 8 x} y = \int - x e^{- 8 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 8 x} y = - \int x e^{- 8 x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 8 x}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{1}{8} e^{- 8 x}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $e^{- 8 x}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (x (- \frac{e^{- 8 x}}{8}) - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 8 x}}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{1}{8} e^{- 8 x} d x)$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $e^{- 8 x}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \int - \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - - \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + 1 \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Langkah 7.5.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x$ dengan $1$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \int \frac{e^{- 8 x}}{8} d x)$

Langkah 7.6

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{- 8 x} d x)$

Langkah 7.7

Biarkan $u = - 8 x$ . Kemudian $d u = - 8 d x$ sehingga $- \frac{1}{8} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Biarkan $u = - 8 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1.1

Diferensialkan $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$

Langkah 7.7.1.2

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Langkah 7.7.1.4

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- 8$

Langkah 7.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} \frac{1}{- 8} d u)$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int e^{u} (- \frac{1}{8}) d u)$

Langkah 7.8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} \int - \frac{e^{u}}{8} d u)$

Langkah 7.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- \int \frac{e^{u}}{8} d u))$

Langkah 7.10

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)))$

Langkah 7.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.11.2

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} \int e^{u} d u)$

Langkah 7.12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$

Langkah 7.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.13.1

Tulis kembali $- (- \frac{x e^{- 8 x}}{8} - \frac{1}{64} (e^{u} + C))$ sebagai $- (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{1}{8} x e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{x}{8} e^{- 8 x} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2.2

Gabungkan $e^{- 8 x}$ dan $\frac{x}{8}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{1}{64} e^{u}) + C$

Langkah 7.13.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{u}}{64}) + C$

Langkah 7.14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 8 x$ .

$e^{- 8 x} y = - (- \frac{e^{- 8 x} x}{8} - \frac{e^{- 8 x}}{64}) + C$

Langkah 7.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 8 x} y = - - \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.15.2

Kalikan $- - \frac{e^{- 8 x} x}{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = 1 \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.15.2.2

Kalikan $\frac{e^{- 8 x} x}{8}$ dengan $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} - - \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.15.3

Kalikan $- - \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.15.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + 1 \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.15.3.2

Kalikan $\frac{e^{- 8 x}}{64}$ dengan $1$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.15.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{- 8 x} x}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64}$ .

$e^{- 8 x} y = \frac{x e^{- 8 x}}{8} + \frac{e^{- 8 x}}{64} + C$

Langkah 7.16

Susun kembali suku-suku.

$e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ dengan $e^{- 8 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 8 x} y = \frac{1}{8} x e^{- 8 x} + \frac{1}{64} e^{- 8 x} + C$ dengan $e^{- 8 x}$ .

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 8 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 8 x} y}{e^{- 8 x}} = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 8 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{8} x e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $\frac{1}{8} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 8 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{8} x + \frac{\frac{1}{64} e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $\frac{1}{64}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{8} x + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $\frac{1}{8} x$ dan $\frac{1}{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Susun kembali $\frac{1}{8}$ dan $x$ .

$y = x \frac{1}{8} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.2.2

Untuk menuliskan $x \frac{1}{8}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{64}{64}$ .

$y = x \frac{1}{8} \cdot \frac{64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $x \frac{1}{8}$ dan $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64}{64} + \frac{1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x \frac{1}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot 64 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Faktorkan $8$ dari $64$ .

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 (8)) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{x}{8} \cdot (8 \cdot 8) + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x \cdot 8 + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.3.3

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.4

Untuk menuliskan $\frac{8 x + 1}{64}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.5

Untuk menuliskan $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{8 x + 1}{64} \cdot \frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Langkah 8.3.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $64 e^{- 8 x}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Kalikan $\frac{8 x + 1}{64}$ dengan $\frac{e^{- 8 x}}{e^{- 8 x}}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C}{e^{- 8 x}} \cdot \frac{64}{64}$

Langkah 8.3.6.2

Kalikan $\frac{C}{e^{- 8 x}}$ dengan $\frac{64}{64}$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{e^{- 8 x} \cdot 64}$

Langkah 8.3.6.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- 8 x} \cdot 64$ .

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x}}{64 e^{- 8 x}} + \frac{C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(8 x + 1) e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + 1 e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.8.2

Kalikan $e^{- 8 x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + C \cdot 64}{64 e^{- 8 x}}$

Langkah 8.3.8.3

Pindahkan $64$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{8 x e^{- 8 x} + e^{- 8 x} + 64 C}{64 e^{- 8 x}}$