Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 - 0.02 y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 - 0.02 y}$ .

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 - 0.02 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - 0.02 y} (2 - 0.02 y)$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 - 0.02 y} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 - 0.02 y} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 - 0.02 y$ . Kemudian $d u = - 0.02 d y$ sehingga $\frac{1}{- 0.02} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 - 0.02 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 0.02}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 0.02$ dengan $1$ .

$- 0.02$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 50}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{50}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{50}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.4

Karena $50$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $50$ keluar dari integral.

$- (50 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Langkah 2.2.5

Kalikan $50$ dengan $- 1$ .

$- 50 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- 50 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$- 50 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 - 0.02 y$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ dengan $- 50$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |) = x + C$ dengan $- 50$ .

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 50$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 50 \ln (| 2 - 0.02 y |)}{- 50} = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 2 - 0.02 y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = \frac{x}{- 50} + \frac{C}{- 50}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} + \frac{C}{- 50}$

Langkah 3.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 - 0.02 y |)} = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 2 - 0.02 y |) = - \frac{x}{50} - \frac{C}{50}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} = | 2 - 0.02 y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$ .

$| 2 - 0.02 y | = e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 - 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ dengan $- 0.02$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- 0.02 y = \pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}} - 2$ dengan $- 0.02$ .

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 0.02$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 0.02 y}{- 0.02} = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x}{50} - \frac{C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Sederhanakan $\frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{- 0.02}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.4

Faktorkan $0.02$ dari $0.02$ .

$y = \frac{1 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}})}{0.02 (1)} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.5

Pisahkan pecahan.

$y = \frac{1}{0.02} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.6

Bagilah $1$ dengan $0.02$ .

$y = 50 \frac{\pm e^{\frac{- x - C}{50}}}{1} + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.7

Bagilah $\pm e^{\frac{- x - C}{50}}$ dengan $1$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + \frac{- 2}{- 0.02}$

Langkah 3.4.4.3.1.8

Bagilah $- 2$ dengan $- 0.02$ .

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x - C}{50}}) + 100$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 50 (\pm e^{\frac{- x + C}{50}}) + 100$