Kalkulus Contoh

$4 e^{4 y} \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 e^{4 y}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{4 y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{4 y}$ .

$4 v \frac{d y}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{4 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} \frac{d}{d x} [4 y]$

Langkah 2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{4 y} (4 y')$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{4 y} (4 y')$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 e^{4 y} y'$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{4 y}$ .

$\frac{d v}{d x} = 4 v y'$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 v \frac{\frac{d v}{d x}}{4 v} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = 2 x e^{3 x} + 3 v$

Langkah 5

Kurangkan $3 v$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d v}{d x} - 3 v = 2 x e^{3 x}$

Langkah 6

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 3 d x}$

Langkah 6.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 3 x + C}$

Langkah 6.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 x}$

Langkah 7

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 v) = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = e^{- 3 x} (2 x e^{3 x})$

Langkah 7.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{- 3 x} (x e^{3 x})$

Langkah 7.4

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $e^{3 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pindahkan $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 (e^{3 x} e^{- 3 x}) x$

Langkah 7.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{3 x - 3 x} x$

Langkah 7.4.3

Kurangi $3 x$ dengan $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 e^{0} x$

Langkah 7.5

Sederhanakan $2 e^{0} x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$

Langkah 7.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 e^{- 3 x} v = 2 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d v}{d x} - 3 v e^{- 3 x} = 2 x$

Langkah 8

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] = 2 x$

Langkah 9

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} v] d x = \int 2 x d x$

Langkah 10

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 3 x} v = \int 2 x d x$

Langkah 11

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{- 3 x} v = 2 \int x d x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 11.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 3 x} v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{- 3 x} v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{- 3 x} v = 1 x^{2} + C$

Langkah 11.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$e^{- 3 x} v = x^{2} + C$

Langkah 12

Bagi setiap suku pada $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ dengan $e^{- 3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 3 x} v = x^{2} + C$ dengan $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 12.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 3 x} v}{e^{- 3 x}} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 12.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 13

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{4 y}$ .

$e^{4 y} = \frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 14

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{4 y}) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Langkah 14.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Perluas $\ln (e^{4 y})$ dengan memindahkan $4 y$ ke luar logaritma.

$4 y \ln (e) = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Langkah 14.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$4 y \cdot 1 = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Langkah 14.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$

Langkah 14.3

Bagi setiap suku pada $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Bagilah setiap suku di $4 y = \ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})$ dengan $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Langkah 14.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$

Langkah 14.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x^{2}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}})}{4}$