Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (e^{2 x}) \sin (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Kemudian $d u_{3} = - 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \sin (e^{2 x}) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{3} = \cos (e^{2 x})$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $\cos (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{2 x})]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.3.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $e^{2 x}$ .

$- \sin (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 2.3.2.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Langkah 2.3.2.1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.4.1

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$

Langkah 2.3.2.1.4.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \sin (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$- 2 e^{2 x} \sin (e^{2 x})$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = 4 \int u_{3} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $u_{3}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int - \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 (- \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3})$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{3}}{2} d u_{3}$

Langkah 2.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{3} d u_{3})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.7.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{3} d u_{3}$

Langkah 2.3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{3}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2})$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = - {u_{3}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $\cos (e^{2 x})$ .

$y + C_{1} = - \cos^{2} (e^{2 x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - \cos^{2} (e^{2 x}) + K$