Kalkulus Contoh

$69 x d y + 420 y d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $420 y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$69 x d y = - 420 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (69 x) d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$69 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $69$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{69}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{69}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{69}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 420 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{69}{y} d y = - 420 \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 420$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{y x} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{69}{y} d y = \frac{- 420}{x} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{69}{y} d y = - \frac{420}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{69}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $69$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $69$ keluar dari integral.

$69 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{420}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$69 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{420}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{420}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{420}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $420$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $420$ keluar dari integral.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - (420 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $420$ dengan $- 1$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$69 \ln (| y |) + C_{1} = - 420 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$69 \ln (| y |) = - 420 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $69 \ln (| y |) + 420 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $69 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $69$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{69}) + 420 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan $420 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $420$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln ({| x |}^{420}) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{420}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln ({| y |}^{69}) + \ln (x^{420}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{69} x^{420}) = C$

Langkah 5.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({| y |}^{69} x^{420})$ .

$\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{420} {| y |}^{69})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (x^{420} {| y |}^{69}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{420} {| y |}^{69}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ .

$x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ dengan $x^{420}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{420} {| y |}^{69} = e^{C}$ dengan $x^{420}$ .

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{420}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{420} {| y |}^{69}}{x^{420}} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah ${| y |}^{69}$ dengan $1$ .

${| y |}^{69} = \frac{e^{C}}{x^{420}}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$| y | = \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{420}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\frac{e^{C}}{x^{420}}$ sebagai ${(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{69}$ dari $e^{C}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{x^{420}}}$

Langkah 5.5.4.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna ${(x^{6})}^{69}$ dari $x^{420}$ .

$| y | = \sqrt[69]{\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{69} e^{C}}{{(x^{6})}^{69} x^{6}}$ .

$| y | = \sqrt[69]{{(\frac{1}{x^{6}})}^{69} \frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.3

Tulis kembali $\sqrt[69]{\frac{e^{C}}{x^{6}}}$ sebagai $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$ .

$| y | = \frac{1}{x^{6}} \cdot \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{\sqrt[69]{x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.4.1

Gabungkan.

$| y | = \frac{1 \sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.4.2

Kalikan $\sqrt[69]{e^{C}}$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{x^{6}}}$

Langkah 5.5.4.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.5.1

Tulis kembali $x^{6}$ sebagai ${(x^{2})}^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}}$

Langkah 5.5.4.5.2

Tulis kembali $\sqrt[69]{{(x^{2})}^{3}}$ sebagai $\sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}$

Langkah 5.5.4.5.3

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$

Langkah 5.5.4.6

Kalikan $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Langkah 5.5.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt[69]{e^{C}}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}}}$ dengan $\frac{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{{\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} \sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}$

Langkah 5.5.4.7.2

Pindahkan $\sqrt[23]{x^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} (\sqrt[23]{x^{2}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Langkah 5.5.4.7.3

Naikkan $\sqrt[23]{x^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} ({\sqrt[23]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22})}$

Langkah 5.5.4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{1 + 22}}$

Langkah 5.5.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}}$

Langkah 5.5.4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{23}$ sebagai $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[23]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{23}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} {(x^{\frac{2}{23}})}^{23}}$

Langkah 5.5.4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{23} \cdot 23}}$

Langkah 5.5.4.7.6.3

Gabungkan $\frac{2}{23}$ dan $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2 \cdot 23}{23}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.4

Kalikan $2$ dengan $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{46}{23}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.5

Hapus faktor persekutuan dari $46$ dan $23$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.6.5.1

Faktorkan $23$ dari $46$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.6.5.2.1

Faktorkan $23$ dari $23$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 (1)}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{23 \cdot 2}{23 \cdot 1}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{\frac{2}{1}}}$

Langkah 5.5.4.7.6.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6} x^{2}}$

Langkah 5.5.4.8

Kalikan $x^{6}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.8.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{6 + 2}}$

Langkah 5.5.4.8.2

Tambahkan $6$ dan $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} {\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.9.1

Tulis kembali ${\sqrt[23]{x^{2}}}^{22}$ sebagai $\sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{{(x^{2})}^{22}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{22}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.9.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{2 \cdot 22}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.2.2

Kalikan $2$ dengan $22$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{44}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.3

Faktorkan $x^{23}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[23]{x^{23} x^{21}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C}} x \sqrt[23]{x^{21}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.5

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.9.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan indeks persekutuan terkecil $69$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.9.5.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[23]{x^{21}}$ sebagai $x^{\frac{21}{23}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{21}{23}})}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.5.1.2

Tulis kembali $x^{\frac{21}{23}}$ sebagai $x^{\frac{63}{69}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} x^{\frac{63}{69}})}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.5.1.3

Tulis kembali $x^{\frac{63}{69}}$ sebagai $\sqrt[69]{x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x (\sqrt[69]{e^{C}} \sqrt[69]{x^{63}})}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.9.5.2

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.10

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.10.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.10.1.1

Faktorkan $x$ dari $x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{8}}$

Langkah 5.5.4.10.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.10.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{8}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Langkah 5.5.4.10.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| y | = \frac{x \sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x \cdot x^{7}}$

Langkah 5.5.4.10.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = \frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$

Langkah 5.5.4.10.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[69]{e^{C} x^{63}}}{x^{7}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Langkah 5.5.5

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} e^{C}}}{x^{7}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{\sqrt[69]{x^{63} C}}{x^{7}}$