Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{(1 + x^{2}) y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y (1 + x^{2})}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Susun kembali $1$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 2.3.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Langkah 2.3.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Langkah 2.3.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Langkah 2.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.6.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 2.3.7

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\arctan (x) + C_{3})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x - \arctan (x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x - \arctan (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (x - \arctan (x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (x - \arctan (x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 x + 2 (- \arctan (x)) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = 2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{2 x - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2 \arctan (x) + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) - 2 \arctan (x) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 \arctan (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x) + 2 (- \arctan (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- \arctan (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x)) + 2 K}$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x - \arctan (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x - \arctan (x) + K)}$