Kalkulus Contoh

$\frac{d N}{d t} + N = N t e^{t + 2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $N$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d N}{d t} = N t e^{t + 2} - N$

Langkah 1.2

Faktorkan $N$ dari $N t e^{t + 2} - N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $N$ dari $N t e^{t + 2}$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t + 2}) - N$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $N$ dari $- N$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t + 2}) + N \cdot - 1$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $N$ dari $N (t e^{t + 2}) + N \cdot - 1$ .

$\frac{d N}{d t} = N (t e^{t + 2} - 1)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t + 2} - 1))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (N (t e^{t + 2} - 1))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = t e^{t + 2} - 1$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{N} d N = (t e^{t + 2} - 1) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{N} d N = \int t e^{t + 2} - 1 d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{N}$ terhadap $N$ adalah $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t + 2} - 1 d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{t + 2}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.3

Biarkan $u = t + 2$ . Kemudian $d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Biarkan $u = t + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Diferensialkan $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Langkah 2.3.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 2$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Langkah 2.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Langkah 2.3.3.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2}) - t + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} - t + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t + 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} - t + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| N |) + C_{1} = e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| N |) = e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $N$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| N |)} = e^{e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| N |) = e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C} = | N |$

Langkah 3.3

Selesaikan $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| N | = e^{e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C}$ .

$| N | = e^{e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C}$

Langkah 3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{e^{t + 2} t - t - e^{t + 2} + C}$ .

$| N | = e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2} + C}$ sebagai $e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2}} e^{C}$ .

$N = \pm e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2}}$ dan $e^{C}$ .

$N = \pm e^{C} e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$N = C e^{t e^{t + 2} - t - e^{t + 2}}$