Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - 2 x y$

Langkah 1

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{3}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 x d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int x d x}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 x^{2} + C}$

Langkah 2.2.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x^{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x^{3}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x^{3} e^{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x^{3} e^{x^{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x^{2}} y = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 7.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{x^{2}} y = \int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $\frac{u}{2}$ dan $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Langkah 7.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int w d v = w v - \int v d w$ , di mana $w = u$ dan $dv = e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Langkah 7.5

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Langkah 7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 7.8.2

Kalikan $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.2.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 7.8.2.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Langkah 7.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Langkah 7.9

Susun kembali suku-suku.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $\frac{1}{2} x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $- \frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.2

Kurangi $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Susun kembali $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.2.2

Untuk menuliskan $x^{2} \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = x^{2} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $x^{2} \frac{1}{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{2} \frac{1}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{2} - 1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.3.3

Tulis kembali $x^{2} - 1$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2} - 1^{2}}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.3.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.4

Untuk menuliskan $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.5

Untuk menuliskan $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1)}{2} \cdot \frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 8.3.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 e^{x^{2}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.6.1

Kalikan $\frac{(x + 1) (x - 1)}{2}$ dengan $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 8.3.6.2

Kalikan $\frac{C}{e^{x^{2}}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{e^{x^{2}} \cdot 2}$

Langkah 8.3.6.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} \cdot 2$ .

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}}}{2 e^{x^{2}}} + \frac{C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(x + 1) (x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{(x (x - 1) + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.8.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = \frac{(x^{2} - x + x - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$y = \frac{(x^{2} + 0 - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$y = \frac{(x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - 1 e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.4

Tulis kembali $- 1 e^{x^{2}}$ sebagai $- e^{x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + C \cdot 2}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 8.3.8.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}} + 2 C}{2 e^{x^{2}}}$