Kalkulus Contoh

$y (\frac{d^{2} x}{d y^{2}}) = y^{2} + 1$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $x = e^{r y}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $y \frac{d^{2} x}{d y^{2}} = y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d x}{d y} = r e^{r y}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = r^{2} e^{r y}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$y (r^{2} e^{r y}) = y^{2} + 1$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $y (r^{2} e^{r y})$ .

$y r^{2} e^{r y} = y^{2} + 1$

Langkah 2.5

Faktorkan $e^{r y}$ dari $y r^{2} e^{r y}$ .

$e^{r y} (y r^{2}) = y^{2} + 1$

Langkah 2.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r y}$ .

$y r^{2} = y^{2} + 1$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $y r^{2} = y^{2} + 1$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $y r^{2} = y^{2} + 1$ dengan $y$ .

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y r^{2}}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $r^{2}$ dengan $1$ .

$r^{2} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3.1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$r^{2} = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$r^{2} = \frac{y}{1} + \frac{1}{y}$

Langkah 3.1.3.1.2.5

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$r^{2} = y + \frac{1}{y}$

Langkah 3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{y + \frac{1}{y}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menuliskan $y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{1}{y}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$r = \pm \sqrt{\frac{y \cdot y + 1}{y}}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$r = \pm \sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\sqrt{\frac{y^{2} + 1}{y}}$ sebagai $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$

Langkah 3.3.5

Kalikan $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ dengan $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$

Langkah 3.3.6

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Kalikan $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y}}$ dengan $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Langkah 3.3.6.2

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Langkah 3.3.6.3

Naikkan $\sqrt{y}$ menjadi pangkat $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Langkah 3.3.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Langkah 3.3.6.6

Tulis kembali ${\sqrt{y}}^{2}$ sebagai $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.6.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.6.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.6.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.6.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y^{1}}$

Langkah 3.3.6.6.5

Sederhanakan.

$r = \pm \frac{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y}}{y}$

Langkah 3.3.7

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$r = \pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$

Langkah 3.3.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(y^{2} + 1) y}}{y}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Langkah 3.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Langkah 3.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Langkah 3.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

$r = - \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$x_{1} = e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

$x_{2} = e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = c_{1} e^{\frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{\frac{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}{y} y}$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = c_{1} e^{\sqrt{y (y^{2} + 1)}} + c_{2} e^{- \sqrt{y (y^{2} + 1)}}$