Kalkulus Contoh

$x (1 + x^{2}) d x + y (1 + y^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x (1 + x^{2}) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (1 + y^{2}) d y = - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y (1 + y^{2}) d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\int y \cdot 1 + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.2

Susun kembali $y$ dan $1$ .

$\int 1 \cdot y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\int y + y \cdot y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.4

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int y + y^{1} y^{2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y + y^{1 + 2} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\int y + y^{3} d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.1.7

Susun kembali $y$ dan $y^{3}$ .

$\int y^{3} + y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{3} d y + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int y d y = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - x (1 + x^{2}) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - u \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - \frac{u}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int \frac{u}{2} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int u d u)$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{4})$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{2 \cdot 2} u^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} u^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{4} {(1 + x^{2})}^{2} + K$