Kalkulus Contoh

$5 y^{2} + 10 x y y' = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$5 y^{2} + 10 x y \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kurangkan $5 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$

Langkah 2.1.2

Bagi setiap suku pada $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ dengan $10 x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Bagilah setiap suku di $10 x y \frac{d y}{d x} = - 5 y^{2}$ dengan $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 5 y^{2}}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 5$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 5 y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{10 x y}$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $10 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Langkah 2.1.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (- y^{2})}{5 (2 x y)}$

Langkah 2.1.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.2.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Langkah 2.1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Langkah 2.1.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{2 x}$

Langkah 2.1.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$

Langkah 2.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{2 x})$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 x}$

Langkah 2.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 3.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 3.3.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gabungkan $\ln (| x |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Langkah 4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan $\ln (| y |) + \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (| x |)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} \ln (| x |) = C$

Langkah 4.3.1.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 4.3.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 4.3.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| y | {| x |}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$

Langkah 4.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |)} = e^{C}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}} | y |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| x |}^{\frac{1}{2}} | y |$

Langkah 4.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ .

${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$

Langkah 4.6.2

Bagi setiap suku pada ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ dengan ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Bagilah setiap suku di ${| x |}^{\frac{1}{2}} | y | = e^{C}$ dengan ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{| x |}^{\frac{1}{2}} | y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.6.2.2.2

Bagilah $| y |$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.6.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{C}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{1}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$