Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $t y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $y - t y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $y$ dari $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $t^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ sebagai $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Langkah 6.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ dengan $e^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ dengan $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ untuk $C$ dalam $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ untuk $C$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ dan $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.3

Faktorkan $e^{\frac{1}{2}}$ dari $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.4

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Langkah 7.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Langkah 7.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Langkah 7.4.4

Bagilah $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$