Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 3 y^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (3 y^{\frac{2}{3}})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} \frac{d y}{d x} = 3$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = 3 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{\frac{2}{3}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $- 1$ .

$\int y^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 2}{3}} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int y^{- \frac{2}{3}} d y = \int 3 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- \frac{2}{3}}$ terhadap $y$ adalah $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = \int 3 d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$3 y^{\frac{1}{3}} + C_{1} = 3 x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $3 y^{\frac{1}{3}} = 3 x + K$ dengan $3$ .

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $y^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{3 x}{3} + \frac{K}{3}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = x + \frac{K}{3}$

Langkah 3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.1.1.2

Sederhanakan.

$y = {(x + \frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${(x + \frac{K}{3})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$y = x^{3} + 3 (x^{2}) \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \frac{K}{3} + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x {(\frac{K}{3})}^{2} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3^{2}} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{2}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 (x) \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x^{3} + x^{2} K + 3 x \frac{K^{2}}{3 \cdot 3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = x^{3} + x^{2} K + x \frac{K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{K^{2}}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + {(\frac{K}{3})}^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{K}{3}$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{3^{3}}$

Langkah 3.3.2.1.2.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$y = x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $x^{3} + x^{2} K + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $K$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{x K^{2}}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Langkah 3.4.2

Susun kembali $x$ dan $K^{2}$ .

$y = x^{3} + K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27}$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $x^{3}$ .

$y = K x^{2} + \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + x^{3}$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $K x^{2}$ .

$y = \frac{K^{2} x}{3} + \frac{K^{3}}{27} + K x^{2} + x^{3}$

Langkah 3.4.5

Susun kembali $\frac{K^{2} x}{3}$ dan $\frac{K^{3}}{27}$ .

$y = \frac{K^{3}}{27} + \frac{K^{2} x}{3} + K x^{2} + x^{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = K + \frac{K x}{3} + K x^{2} + x^{3}$