Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ sebagai $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Langkah 3.2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $3 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

Langkah 3.3

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

Langkah 3.3.3

Pindahkan $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Langkah 3.3.4

Susun kembali $y^{2}$ dan $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = - 6 x^{2} - 2 K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 6 x^{2} - 2 K$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3.3

Faktorkan $2$ dari $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5

Tulis kembali $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$