Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Langkah 1.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan konstanta.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Langkah 2.3.2

Susun kembali suku-suku.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $10 + 4 \sin (t)$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.1.2.4

Bagilah $x (5 + 2 \sin (t))$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ sebagai $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$