Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $4 x + x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x$ dari $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Kalikan $x$ dengan $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $4 + y^{2}$ dari $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ sebagai $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 2 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 2 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.2

Kalikan $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.2.1

Susun kembali $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ dan $2$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.2.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.4

Sederhanakan.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Langkah 3.1.3.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

Langkah 3.2

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $y$ dari dalam arctangen.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Langkah 3.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$