Kalkulus Contoh

$(2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6) d x + (2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 x y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $- 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $4 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [6]$

Langkah 1.5.2

Karena $6$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $6$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0 + 0$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1.1

Tambahkan $2 - 6 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2} + 0$

Langkah 1.6.1.2

Tambahkan $2 - 6 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 - 6 x y^{2}$

Langkah 1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 y^{2} x + 2$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x + 0$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2 - 6 y^{2} x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 - 6 y^{2} x$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y^{2} x + 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 6 y^{2} x + 2$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 6 y^{2} x + 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 6 y^{2} x + 2 = - 6 y^{2} x + 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 6 y^{2} x + 2 = - 6 y^{2} x + 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1 d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 2 x - 3 x^{2} y^{2} - 1$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x d y + \int - 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 x y + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.3

Karena $- 3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 3 x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int - 1 d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 1 d y$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) - y + C$

Langkah 5.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = 2 x y + C - 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) - y + C$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} y^{3}$ terhadap $x$ adalah $- y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y - y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y - y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 y - 2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.5

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y - 2 y^{3} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y - 2 y^{3} x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $2 y - 2 y^{3} x$ dan $0$ .

$2 y - 2 y^{3} x + \frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{3} x + 2 y = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y^{3} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + 2 y = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 y - 2 x y^{3} + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $- 2 x y^{3}$ dan $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y - 2 y^{3} x + 4 x + 6 + 2 y^{3} x - 2 y$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $- 2 y^{3} x$ dan $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + 4 x + 6 + 0 - 2 y$

Langkah 9.1.3.3

Tambahkan $2 y + 4 x + 6$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y + 4 x + 6 - 2 y$

Langkah 9.1.3.4

Kurangi $2 y$ dengan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x + 6 + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $4 x + 6$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x + 6$

Langkah 10

Temukan $4 x + 6$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 4 x + 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x + 6 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x + 6 d x$

Langkah 10.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (x) = \int 4 x d x + \int 6 d x$

Langkah 10.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$g (x) = 4 \int x d x + \int 6 d x$

Langkah 10.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 d x$

Langkah 10.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C$

Langkah 10.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C$

Langkah 10.8

Sederhanakan.

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x y - x^{2} y^{3} - y + 2 x^{2} + 6 x + C$